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"aprendiendo paso a paso"

Integración conceptos básicos.

Antiderivada o primitiva de una función.
Suponga que se desea encontrar una función \(F\left(x\right)\) cuya deriva es la función \(f^\prime\left(x\right)=6x^5,\) de los conocimientos de derivación se sabe por la regla de la potencia que si \(f\left(x\right)=x^n\ \rightarrow f^\prime\left(x\right)=nx^{n-1}\) de modo que \(F\left(x\right)\) debe ser \(x^6.\) De lo anterior se puede inferir una definición muy importante para el análisis matemático.

Definición de antiderivada de una función

Se dice que una función \(F\left(x\right)\) es una antiderivada (también llamada primitiva) de una función \(f\left(x\right)\) en un intervalo \(I\) si para todo \(x\in I\) se tiene que \(F\prime(x)=f\left(x\right).\)

\(F\left(x\right)\) es una antiderivada de \(f\left(x\right)\) y no la antiderivada de \(f\left(x\right)\) debido a que para cualquier valor constante \(c\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\) se tiene que \(D_x\left[F\left(x\right)+c\right]=f\left(x\right).\) De la afirmación anterior se infiere que si \(F\left(x\right)\) es una antiderivada de una función \(f\left(x\right)\) en un intervalo \(I\) entonces otra antiderivada de \(f\left(x\right)\) en en el intervalo solo difiere de \(F\left(x\right)\) en una constante \(c.\) Es decir, una familia de antiderivadas de \(f\left(x\right)\) tiene la forma $$F\left(x\right)+c_1; F\left(x\right)+c_2; ;\ldots,F\left(x\right)+c_n$$ y así sucesivamente para \(c_1,\ c_2,\ \ldots c_n\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}.\) Encontrar una antiderivada o primitiva de una función es responder la pregunta ¿Cuál es la función cuya deriva es … más una constante?

Ecuación diferencial (ED). Una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a la variable, se dice que es una ecuación diferencial (ED). En las variables \(x\) y \(y\) se denota por $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)$$ Cuando se resuelve la ecuación anterior para \(y\) se tiene que \(dy=f\left(x\right)dx\) y la operación que permite determinar las soluciones de la ecuación anterior se llama antiderivación o integración indefinida y está denotada por el símbolo de integración o integral \(\int{}\) siendo la integración la operación contraria a la derivación. En la figura de la izquierda se muestran los nombres de estos elementos. La expresión \(\int f\left(x\right)dx\) se lee como “integral indefinida de efe de equis de equis” o más estrictamente hablando “integral indefinida de efe de equis por el diferencial de equis” $$ dy=f\left(x\right)dx \Longleftrightarrow \int{dy}=\int f\left(x\right)dx\ \Longrightarrow y=\int f\left(x\right)dx$$

Reglas básicas de integración

$$\begin{align} &{\rm Como} \ \frac{d}{dx}\left(c\right)=0\ {\rm entonces}\ \int0dx=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Integral \ de\ cero.}\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}(x)=\frac{dx}{dx}=1\Longrightarrow\int d x=x+c \ \ {\rm Integral \ del \ diferencial} \ dx.\\ &\int c_1dx=c_1\int d x=c_1x+c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Integral\ de\ una\ constante.}\\ &\int{c_1f\left(x\right)}dx=c_1\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Propiedada\ del\ multiplo\ constante.}\\ &\int\left[f\left(x\right)\pm h\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int h\left(x\right)dx \ \ \ {\rm Propiedad\ de\ linealidad.}\\ &\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Regla\ de\ la\ potencia\ donde} \ n\neq-1\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\sin{x}\right)=\cos{x}\ \Longrightarrow\int\cos{x}dx=\sin{x}+ c\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\cos{x}\right)=-\sin{x}\ \Longrightarrow\ \int\sin{x}dx=-\cos{x}+c\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\tan{x}\right)=\sec^2x\ \Longrightarrow\ \int{\sec^2x}dx=\tan{x}+ c\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\cot{x}\right)=\csc^2x\ \Longrightarrow\ \int{\csc^2x}dx=-\cot{x}+ c\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\sec{x}\right)=\sec{x}\tan{x}\Longrightarrow\int{\sec{x}\tan{x}}dx=\sec{x}+ c\\ &{\rm Como}\ \frac{d}{dx}\left(\csc{x}\right)=-\csc{x}\cot{x}\ \Longrightarrow\int{\csc{x}\cot{x}}dx=-\csc{x}+ c\end{align}$$ Nota: al aplicar la propiedad de linealidad, $$\int\left[f\left(x\right)\pm h\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int h\left(x\right)dx$$ no es necesario escribir dos constantes de integración para las integrales ya que, al integrar, $$\int f\left(x\right)dx\pm\int h\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c_1\ \pm H\left(x\right)+c_2$$ se tiene, \(F\left(x\right)+H\left(x\right)+c\) donde la constante \(c=c_1+c_2.\)

Los ejemplos resueltos en el apartado de ejercicios muestran el uso de las fórmulas de integración contenidos en la tabla, sin embargo, no es conviene intentar memorizar cada una de las fórmulas de integración que verá a lo largo de este curso, más bien lo prudente y sensato es pensar en cual es la función la función cuya deriva es la expresión bajo el signo de integración. Esto ayudará en gran manera a la conceptualización y aprendizaje de los temas, creando confianza y fortaleza en el estudiante, permitiéndole alcanzar un desarrollo de acuerdo con su esfuerzo. Estudiar cálculo no es memorizar fórmulas.

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