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"aprendiendo paso a paso"

Integración conceptos básicos.
Antiderivada o primitiva de una función.
Suponga que se desea encontrar una función \(F\left(x\right)\) cuya deriva es la función \(f^\prime\left(x\right)=6x^5\), de los conocimientos de derivación se sabe por la regla de la potencia que si \(f\left(x\right)=x^n\ \rightarrow f^\prime\left(x\right)=nx^{n-1}\) de modo que \(F\left(x\right)\) debe ser \(x^6.\) De lo anterior se puede inferir una definición muy importante para el análisis matemático.

Definición de antiderivada de una función

Se dice que una función \(F\left(x\right)\) es una antiderivada o primitiva de una función \(f\left(x\right)\) en un intervalo \(I\) si para todo \(x\in I\) se tiene que \(F^\prime(x)=f\left(x\right)\).

\(F\left(x\right)\) es una antiderivada de \(f\left(x\right)\) y no la antiderivada de \(f\left(x\right)\) debido a que para cualquier valor constante \(c\in\mathbb{R}|c\ne0\) se tiene que \(D_x\left[F\left(x\right)+c\right]=f\left(x\right)\). De esto se infiere que si \(F\left(x\right)\) es una antiderivada de una función \(f\left(x\right)\) en un intervalo \(I\) entonces otra antiderivada de \(f\left(x\right)\) en en el intervalo solo difiere de \(F\left(x\right)\) en una constante \(c.\) Es decir, una familia de antiderivadas de \(f\left(x\right)\) tiene la forma $$F\left(x\right)+c_1; F\left(x\right)+c_2; ;\ldots,F\left(x\right)+c_n$$ y así sucesivamente para \(c_1,\ c_2,\ \ldots c_n\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\). Encontrar una antiderivada o primitiva de una función es responder la pregunta ¿Cuál es la función cuya deriva es … más una constante?

Ecuación diferencial (ED). Una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a la variable, se dice que es una ecuación diferencial (ED). En las variables \(x\) y \(y\) se denota por $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)$$ Al resolver la ecuación para \(y\) se tiene que \(dy=f\left(x\right)dx\) y la operación que permite determinar las soluciones de la ecuación anterior se llama antiderivación o integración indefinida la cual se denotada por el símbolo de integración o integral \(\int{}\) (una ese estiada) siendo la integración la operación contraria a la derivación.
La integración es la operación inversa a la derivación, en la figura de la izquierda se muestran los nombres de estos elementos. La expresión \(\int f\left(x\right)dx\) se lee como “integral de efe de \(x\) de \(x\)” o más estrictamente hablando “integral indefinida de efe de equis por el diferencial de equis” y son de gran importancia en el estudio de las ciencias. \begin{align} &dy=f(x)dx \Longleftrightarrow \int{dy}=\int{f(x)dx}\\ &y=\int{f\left(x\right)dx}=F(x)+c \end{align} Integrales inmediatas.
Dada una función elemental \(f(x)\) el proceso para obtener su antiderivada o primitiva por lo general es idéntico al de obtener su derivada, esto es,
reescribir \(\Longrightarrow\) integrar \(\Longrightarrow\) simplificar
para esto se utilizan dos propiedades fundamentales de la integración, enunciadas como sigue.

Propiedades la integral indefinida.

Sea \(c_1\in\mathbb{R}\) y sean \(f(x)\) y \(h(x)\) dos funciones continuas entonces, \begin{align} &1.~\int{c_1f\left(x\right)dx}=c_1\int{f\left(x\right)dx}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Múltiplo\ constante.}\\ &2.~\int{\left(f\left(x\right)\pm h\left(x\right)\right)dx}=\int{f\left(x\right)dx}\pm \int{h\left(x\right)dx}\ \ \ \ {\rm Linealidad.}\end{align} Nota: al aplicar la propiedad de linealidad, $$\int\left[f\left(x\right)\pm h\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int h\left(x\right)dx$$ no es necesario escribir dos constantes de integración ya que, al integrar, $$\int f\left(x\right)dx\pm\int h\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c_1\ \pm H\left(x\right)+c_2$$ se tiene, \(F\left(x\right)+H\left(x\right)+c\) donde la constante \(c=c_1+c_2\). Al realizar integración directa se han de considerar las siguientes reglas de integración.

Reglas básicas de derivación e integración

$$\begin{align} &{\rm Derivación}\\ &\frac{d}{dx}\left(c\right)=0\\ &\frac{d}{dx}(x)=1\\ &\frac{d}{dx}(c_1f(x))=c_1\frac{d}{dx}(f(x)) \\ &\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} \\ & \frac{d}{dx}\left(\sin{x}\right)=\cos{x}\\ & \frac{d}{dx}\left(\cos{x}\right)=-\sin{x}\\ & \frac{d}{dx}\left(\tan{x}\right)=\sec^2x\\ & \frac{d}{dx}\left(\cot{x}\right)=\csc^2x\\ & \frac{d}{dx}\left(\sec{x}\right)=\sec{x}\tan{x}\\ &\frac{d}{dx}\left(\csc{x}\right)=-\csc{x}\cot{x}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} & \int{0dx}=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Integral \ de\ cero.}\\ &\int d x=x+c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Integral} \ dx.\\ &\int c_1dx=c_1\int d x=c_1x+c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Integral\ de\ }c_1=cte\\ &\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c; \ \ n\neq-1 \ \ \ \ \ \ {\rm Regla\ de\ la\ potencia} \\ & \int\cos{x}dx=\sin{x}+ c\\ & \int\sin{x}dx=-\cos{x}+c\\ & \int{\sec^2x}dx=\tan{x}+ c\\ & \int{\csc^2x}dx=-\cot{x}+ c\\ & \int{\sec{x}\tan{x}}dx=\sec{x}+ c\\ &\int{\csc{x}\cot{x}}dx=-\csc{x}+ c\end{align}$$

Los ejemplos resueltos en el apartado de Ejercicios I muestran el uso de las fórmulas de integración contenidos en la tabla, sin embargo, no es conviene intentar memorizar cada una de las fórmulas de integración que verá a lo largo de este curso, más bien lo prudente y sensato es pensar en cual es la función cuya deriva es la expresión bajo el signo de integración. Esto ayudará en gran manera a la conceptualización y aprendizaje de los temas, creando confianza y fortaleza en el estudiante, permitiéndole alcanzar un desarrollo de acuerdo con su esfuerzo, estudiar cálculo no es memorizar fórmulas.

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